El resonador esférico y los autovalores (modos propios)

La cavidad Tierra-ionosfera puede entenderse como un resonador esférico: las ondas con una longitud de onda comparable al perímetro de la Tierra (\approx 40\,000 km) se superponen a lo largo del perímetro formando una onda estacionaria. La resonancia se produce cuando un número entero de longitudes de onda «rodea» el planeta, de ahí el espectro discreto de modos propios (eigenmodos) numerados n = 1, 2, 3, \dots

Matemáticamente, el número angular n surge de la exigencia de que la solución de la ecuación de Legendre sea regular en toda la esfera; solo son admisibles los valores enteros de n, a los que corresponden los polinomios de Legendre P_n(\cos\theta). El modo n tiene n círculos nodales en la esfera, de modo que n=1 es la configuración más baja (dipolar), n=2 la cuadrupolar, etc. Cada modo es, en una cavidad ideal (esféricamente simétrica), (2n+1) veces degenerado en el número acimutal m; esta degeneración se rompe en una cavidad real, no homogénea, y conduce al desdoblamiento de modos (véase #24).

El autovalor determina la frecuencia resonante f_n de un modo dado. Para una cavidad ideal tiene forma cerrada (véase #17); para una cavidad real se obtiene numéricamente.