Las ecuaciones de Maxwell en el resonador de cavidad

La resonancia de Schumann es la oscilación electromagnética propia de la cavidad esférica situada entre la superficie terrestre y la baja ionosfera. Los campos se deducen de las ecuaciones de Maxwell escritas en una corteza esférica de radio interior a (la superficie de la Tierra) y con un límite superior conductor (la ionosfera) Sentman 1995Nickolaenko Hayakawa 2002.

En la cavidad dominan los modos TM (transverse magnetic): tienen un campo eléctrico vertical (radial) E_r y un campo magnético horizontal; la componente E en la dirección de propagación está presente, mientras que H es puramente transversal. Esto se corresponde con la física de la fuente ELF -los rayos como canales de corriente verticales- y con la geometría de la cavidad delgada, cuyo espesor (decenas de km) es mucho menor que la longitud de onda (miles de km) y que el perímetro de la Tierra.

A partir de las ecuaciones de Maxwell sin fuentes, para la dependencia armónica e^{-i\omega t} se obtiene la ecuación de onda (de Helmholtz) \nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0 con k = \omega/c. Gracias a la simetría esférica, la solución se separa en una parte radial y una parte angular; la parte angular conduce a los armónicos esféricos Y_n^m(\theta,\varphi), o bien a las funciones de Legendre P_n(\cos\theta). Los índices n numeran los modos propios de la cavidad.